陪伴小孩建立數感：Number Talks

記得在國小的時候，看到費曼先生 (Richard Phillips Feynman)的書，其中一段數學拆解的過程給了我很大的啟發，從此我也開始使用類似的方式運算著數學考題以及拆解問題上，這也幫助我加強了數感與空間的概念，並在生活與考試上幫助我很多。

你是不是好奇當年費曼先生哪一段故事，給了我啟發呢？讓我回憶一下，畢竟已經過了很多年（我也不記得是哪一本書），因此故事內容可能有點出入。當年看到書上提到費曼先生在酒吧，與人打賭，可以在相當短的時間，不靠紙筆，就將任意多位數的四則運算馬上算出來，而後在那場打賭中，費曼先生也同樣不靠紙筆，以幾秒的時間去算出更複雜的數學題目（已經不是四則運算了）。事後朋友問他怎麼做到的，費曼先生跟他朋友解釋的其中一小段就是即將我要介紹的內容「Number Talks」。

什麼是「Number Talks」？「Number Talks」是由 Ruth Parker 與 Kathy Richardson 發展出來，是一種可以同時教小孩數感與數學事實很棒的策略方法，史丹佛大學教授 Boaler, Jo 也在他的著作 Mathematical Mindsets 大力推崇。。而這樣的思考策略方式，其實也會與TRIZ大有相關聯。而這樣的訓練方式不只是可以用在學校，更可以由父母帶著孩子練習。簡單地說就是由老師或家長提出一個抽象的數學問題給學生，而學生不能使用任何工具（紙筆等），只能在心裡思考來解答出答案。

說一個例子，請小孩在心裡思考著 9 + 4 ，你是怎麼思考運算的。然後分享你的思考策略，小孩可能會想

9 + (1 +3) = (9 + 1) + 3 = 10 + 3 = 13
(3 + 6) + 4 = 3 + (6+4) = 3 + 10 = 13

你大概已經明白了，「Number Talks」是讓孩子明白運算方式有很多種，而我們可以將複雜的問題拆解成多個容易解答的小問題。

再來說一個例子，請小孩在心裡思考著 15 x 8，小孩可能會提出以下這些思考策略

我想你也猜想到了，費曼先生給我的啟發之一，和「Number Talks」的核心之一就是視覺化。

緊接著我就直接分享老師與家長們如何用「Number Talks」來陪伴小孩練習四則運算，建立起數感與數學事實。

喔！等一下，再給我點時間解釋一下什麼是數學事實？

我們常說的九九乘法表，就是數學事實的一個例子，這些數學事實因為日常生活以及數學運算太常被使用到，因此相信不少人有這樣的經驗，老師或是家長就是要小孩背下來這些數學事實，但也導致於不少小孩不知為何是這樣的答案。當遇到變化，也無法靈活變通，雖說數學事實給我們帶來極大的便利性，但我們不需要透過強行記憶的方式去記住數學事實，而是可以透過數感的培養，讓小孩知其所以。而「Number Talks」的活動中，更是可以在培養數感的過程中，無形中將數學事實讓小孩記住了，卻又不會抹煞掉孩子思考的多樣性。

附帶一點，同時培養數感與數學事實的方式，在蒙特梭利的方法論中也有，最大的差別在於練習的過程，蒙特梭利是採用「動手做」，而費曼先生與「Number Talks」則是在心中思考。但兩者中都同樣將「視覺化」引導進入練習過程。

在引導小孩進行「Number Talks」前，我們必須先給孩子一個讓孩子不怕犯錯的環境。

可以帶孩子先以這個題目進入「Number Talks」，請小孩們看看以下這張圖有幾個點點？請不要用一個一個數喔。

小孩可能會用以下的方式進行拆解組合（解構/重構）：

想成這是一個足球（六邊形），因此為 6 + 1

也可能想成一個小丑，有兩個大大的耳朵 ( 3 )和中間有一個大大的鼻子 (1)：3 + 1 + 3 或是 3 + 3 + 1 或是 2 x 3 + 1

也可能想成 2 + 3 + 2

這樣是不是很容易帶小孩以以遊戲化的方式開始進入「Number Talks」。

而在課堂上或是一個小團體中，「Number Talks」該如何進行呢？

提問題：引導者將題目寫在白板上。
請給小孩足夠的時間去獨自安靜地在腦中思考，不需要紙筆，也不需要和其他人討論。
時間到了，引導者可以問問小孩們答案是多少？然後引導者將答案寫在白板上，並且也問問還有沒有其他答案，直到沒有其他答案為止。但在這時候，引導者是不需要將是誰回答的名字寫在答案旁邊。
問問有沒有小孩志願分享解釋他的想法，若可以的話，甚至再進一步請他用「視覺化」來加強表示。引導者最好能鼓勵每位小孩都能分享他的思考策略，而小孩表達解釋他的思考策略時。並不是要小孩用以下的方式描述：15 x 8 答案是120，因為150 – 30。而是應該要類似這樣的方式回答，才能知道清楚描述思考脈絡。比如：因為數字湊成10比較好計算。而 8 = 10-2。所以15 x 10 – 15 x 2，這樣就比較容易計算。而小孩和我們就能清楚這小孩它採用了「以10為基準」的策略方式。
小孩兩兩一組與旁邊的小孩一起討論，學會聆聽，學會一起思考。
記錄思考策略以及獲得到的啟發。

透過這樣的流程，小孩既可以從中瞭解學習到不同的思考方式，又可以從錯誤中學習。

「Number Talks」有三個基本原則。

數字加倍（特別用在加法與乘法）。這是在計算過程中，提醒將任意數字加倍的方式進行，如：6 + 6 或 6 x 2 。
- 題目範例：36加倍
- 參考策略：
  - 我將36拆成30+6。而30 x 2 + 6 x 2 = 72
  - 我知道35加倍是70，而1加倍是2，所以 70 + 2= 72
數字減半（特別用在除法）。除法是平分的概念，如：30 = 15 + 15 或是 30 = 15 / 2
- 題目範例：36減半
- 參考策略：
  - 我知道 36 = 30 + 6。我也知道15+15等於30，所以30減半是15，我也知道3+3等於6，所以 6減半是3，36減半是 15 + 3 = 18。
  - 我知道 36 = 20 + 16。我也知道20除以2為10，我也知道16除以2等於8，所以36減半是 10 + 8 = 18。
從十的次方開始。這個練習主要是幫助小孩日後遇到數字較大或較小時，也能輕鬆以對。
- 參考範例：36要加多少才能到100 (10的平方）
- 參考策略：
  - 我要先湊成10的倍數這比較容易計算，所以36 + 4 = 40，而後再加 60 ，就等於100。因此答案是 4 + 60 = 64。
  - 我知道100 是 60 + 40，而40和36差4。因此60 + 4 = 64。
  - 我加一個十的倍數到最接近100，但不超過100，所以 36 + 60 = 96 ，然後 96 再加 4 就等於100。因此 60 + 4 = 64 。

四則運算的「Number Talks」思考策略

基本上，熟悉上面提的三個基本原則，就能衍伸不同的變化，而以下所提的四則運算的思考策略只是更詳細的實際運用介紹，但老師或家長可以鼓勵小孩想想看還有沒有更好的思考策略。

此外，在「Number Talks」中，我們不去設限只能用橫式或是直式，而是採用隨性、用最容易記住，且有高關聯性和視覺化的方式進行。

減法

會從減法開始介紹起，主要是因為加法對於年紀較大的學生，如國中生、高中生而言，他們可能會覺得太簡單，而沒有挑戰性。對於減法有兩個意義：一個是拿走消除，另一個則是數字間的距離。尤其後者的意義常常被小孩們忽略了它的重要性。而瞭解這兩個意義對於我們運算時，相當有幫助，尤其在後者運用在「視覺化」時更是扮演著關鍵要素。

被減數 – 減數 = 差 ( Minuend – Subtrahend = Difference )（題目：72 – 37 ）

將減數四捨五入到十的倍數，然後調整。
- 37四捨五入到40。72 – 40 = 32 ，因我們四捨五入時拿走了3，因此得將3加回去，因此為 32+ 3 = 35
分解減數
以加法替代，
- 以10的倍數為基準，用在被減數、減數或是用來透過10的倍數大幅縮短兩數字中間的距離。
- 方法一：
- 方法二：
- 方法三：
相同的差，平移。
- 這個策略非常實用且廣泛，採用的就是減法是距離的概念。而我個人也常用在方程式與代數上。
拆開分位
- 70 – 30 = 40，2 – 7 = -5。40 – 5 = 35

乘法

由於乘法具有交換率，因此思考算式時，可以以數字本身的特徵多加運用。

被乘數 × 乘數 = 積 ( Factor × Factor = Product )（題目：14 × 18 ）

拆解乘數為兩個或多個加數
- 14 × ( 10 + 8 ) = ( 10 + 8 ) × 14 = 140 + 112 = 252
拆解乘數為多個乘數。
- 而其中可採用加倍的方式一起運用，會比容易計算。而遇到乘數的個位數分別有 5 和 2時，也可以運用。
- 14 × ( 2 × 3 × 3 ) = 28 × 3 × 3 = 84 × 3 = 28 × 9 = 252
- 14 × 18 = (2 × 7 ) x ( 2 × 9 ) = 7 × 9 × 2 × 2 = 63 × 2 × 2 = 126 × 2 = 252
- 15 × 12 = (10 + 5 ) × 12 = 120 + 60 = 180
四捨五入乘數，並作調整。
- 14 × ( 20 – 2 ) = 280 – 28 = 280 – (20 + 8 ) = 260 – 8 = 252
減半和加倍
- 14 × 18 = 28 × 9 = 84 × 3 = 252

加法

被加數 + 加數 = 和（ Addend + Addend = Sum）（題目：54 + 27 )

四捨五入後調整
- 54 + 27 = 54 + ( 30 – 3) = 84 – 3 = 81
先取後給
- 這是一種分享的概念，也是一種等量平移的概念。
- 54 + 27 = ( 51 + 3 ) + 27 = 51 + ( 3+ 27) = 51 + 30 = 81
從左至右計算。
- 這做法與過去我們常用的由右至左的方式不同。我曾在一個印度的線上教學網站中，也看過他們鼓勵這樣的做法，而由左至右的方式，也不會失去了分位。我到現在還印象深刻，書上的費曼先生也是這麼計算著，他說這樣我就可以正確地「說出」答案了。
- 54 + 27 = (50 + 4) + (20 + 7) = (50 + 20) + (4 + 7) = 70 + 11= 81
拆解一個加數
- 54 + 27 = 54 + (20 + 7) = 74 + 7 = 81
往上加。這和拆解一個加數很類似，但是更多的不同是採用視覺化來運算